¿Qué es el álgebra abstracta?
El álgebra abstracta es la rama del álgebra que se encarga del estudio de sistemas o estructuras algebraicas con una o más operaciones matemáticas que están asociadas a elementos con un patrón identificable, diferenciándose de los sistemas numéricos habituales. En álgebra abstracta los elementos que se combinan para realizar operaciones matemáticas no son interpretables como números, de allí su cualidad de abstracta.
Los elementos del álgebra abstracta operan como una abstracción de las propiedades algebraicas comunes a distintos sistemas numéricos y a otros objetos de estudio matemático. Su objetivo es, por lo tanto, conocer las propiedades de las operaciones, independientemente de las características de los operandos. La mayor parte de esta rama se crea en el siglo XIX para responder a la necesidad de mayor precisión en las definiciones matemáticas.
¿Para qué sirve el álgebra abstracta?
La función principal del álgebra abstracta es analizar un conjunto dotado de una o más operaciones con características o propiedades especiales para conocer, de manera precisa, las relaciones entre las dichas propiedades de las operaciones, así como las consecuencias y resultados posibles de sus asociaciones.
¿Cuáles son las estructuras algebraicas?
En álgebra abstracta, se entiende por estructura a un conjunto o grupo con una o más operaciones algebraicas. Estas estructuras se clasifican según la cantidad de operaciones que puedan existir en ellas, así como también por sus características, número de elementos o subconjuntos y la relación que exista entre los elementos del conjunto principal, independientemente de su naturaleza.
¿Qué es la Ley de Composición?
Es un término del álgebra abstracta que se usa para nombrar un tipo de operación binaria en la que dos elementos de conjuntos dados se asignan a otro elemento, y que da lugar a distintas estructuras algebraicas. La ley de composición puede ser interna o externa, según si la aplicación los elementos que toman parte de ella forman parte del mismo conjunto o de conjuntos distintos, respectivamente.
Las leyes de composición internas se representan con los siguientes símbolos: ⊙, ⊚, ⊕, ⊖, ⊛, ⊗ y ⊘. Las leyes de composición externas se representan con los siguientes símbolos: ⋅, ∘, +, -, ⋇.x, ∕. Por su parte, los conjuntos se representan con letras mayúsculas (A, B, C…) y sus elementos con letras minúsculas (a, b, c…).
¿Cuáles son los tipos de estructuras algebraicas?
Las estructuras algebraicas de la rama abstracta más comunes pueden clasificarse en:
- Con una sola ley de composición u operación binaria:
- Magmas: estructuras algebraicas de la forma (A,⊚) en la que A es un conjunto con una sola operación binaria interna.
- Semigrupos: estructuras de la forma (A,⊚) en las que A es un conjunto no vacío y ⊚ una operación interna definida en A.
- Grupos: estructuras algebraicas formadas por un conjunto no vacío con una operación interna que combinada un par de elementos para componer un tercer elemento dentro de un conjunto.
- Cuasigrupos: estructuras algebraicas de cláusula lineal que se configuran como un magma con una sola ley de composición interna cuyos elementos son divisibles. Su principal diferencia respecto a los grupos es que no son necesariamente asociativos.
- Monoides: estructuras algebraicas con operaciones asociativas y un elemento neutro; este último es lo que las diferencia de los semigrupos.
- Con dos o más leyes de composición u operaciones binarias:
- Anillos: son sistemas algebraicos formados por un conjunto y dos operaciones binarias internas que se expresan como (R,+,∙).
- Cuerpos (también llamados campos): son anillos de división conmutativos.
- Módulos: son estructuras algebraicas que actúan en la teoría de representación de grupos, en la que un grupo implica transformaciones concretas de un objeto matemático.
- Espacios vectoriales (también llamados espacios lineales): estructuras algebraicas compuestas por un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma) y una operación externa (llamada producto por un escalar). Los elementos de un espacio vectorial son conocidos como vectores.
- Álgebras asociativas: son módulos que también permiten la multiplicación de vectores de manera distributiva y asociativa.
- Álgebras de Lie: estructuras algebraicas definidas sobre un espacio vectorial y normalmente asociadas a los grupos de Lie. A este objeto matemático se le denominaba antes grupo infinitesimal.
- Retículos: son estructuras algebraicas utilizadas del álgebra y la teoría del orden cuyo nombre viene de la forma de los diagramas de Hasse.
- Álgebras de Boole: estructuras algebraicas que esquematizan las operaciones lógicas, y se utilizan tanto en matemáticas como en electrónica digital e informática.
¿Cuál es la diferencia entre el álgebra abstracta y el álgebra elemental?
Si bien el álgebra elemental y abstracta responden a los mismos planteamientos generales del álgebra, existen diferencias entre ellas; por ejemplo: mientras el álgebra elemental se basa en la solución de ecuaciones algebraicas simples, el álgebra abstracta estudia sistemas y estructuras algebraicas, es decir, grupos con distintas operaciones. Por otro lado, el álgebra elemental estudia los números reales y números complejos, mientras que el álgebra abstracta expresa estructuras matemáticas que no necesariamente pueden expresarse con valores numéricos.
